時鐘追趕問題
時鐘問題
屬於行程問題中的追及問題。鍾面上按“時”分為12大格，按“分”分為60小格。每小時，時針走1大格合5小格，分針走12大格合60小格，時針的轉速是分針的1/12 ，兩針速度差是分針的速度的 11/12，分針每小時可追及 11/12。
1、二點到三點鐘之間，分針與時針什麼時候重合？
分析：兩點鐘的時候，分針指向12，時針指向2，分針在時針後5×2＝10（小格）。而分針每分鐘可追及1－1/12 ＝ 11/12（小格），要兩針重合，分針必須追上10小格，這樣所需要時間應為（10÷ 11/12）分鐘。
解： （5×2）÷（1－ 1/11）＝10÷ 11/12＝10 +10/11（分） 答：2點10 +10/11分時，兩針重合。
2、在4點鐘至5點鐘之間，分針和時針在什麼時候在同一條直線上？
分 析：分針與時針成一條直線時，兩針之間相差30小格。在4點鐘的時候，分針指向12，時針指向4，分針在時針後5×4＝20（小格）。因分針比時針速度 快，要成直線，分針必須追上時針（20小格）並超過時針（30小格）後，才能成一條直線。因此，需追及（20＋30）小格。
解： （5×4＋30）÷（1－ 1/12）＝50÷ 11/12＝54 +4/11（分） 答：在4點54 +4/11分時，分針和時針在同一條直線上。
3、在一點到二點之間，分針什麼時候與時針構成直角？
分析：分針與時針成直角，相差15小格（或在前或在後），一點時分針在時針後5×1＝5小格，在成直角，分針必須追及並超過時針，才能構成直角。所以分針需追及（5×1＋15）小格或追及（5×1＋45）小格。
解： （5×1＋15）÷（1－1/11）＝20÷ 11/12＝21+9/11 （分） 或（5×1＋45）÷（1－ 1/12）＝50÷ 11/12＝54 +6/11（分）
答：在1:21 +9/11分和1:54 +6/11分時，兩針都成直角。
4、 星期天，小明在室內陽光下看書，看書之前，小明看了一眼掛鐘，發現時針與分針正好處在一條直線上。看完書之 後，巧得很，時針與分針又恰好在同一條直線上。看書期間，小明聽到掛鐘一共敲過三下。（每整點，是幾點敲幾下；半點敲一下）請你算一算小明從幾點開始看 書？看到幾點結束的？
分析：連半點敲聲在內，一共敲了三下，說明小明看書的時間是在中午12點以後。12點以後時針與分針： 第一次成一條直線時刻是：（0＋30）÷（1－ 1/12）＝30÷11/12 ＝32+8/11 （分） 即12點32 +8/11分。
第二次成一條直線時刻是：（5×1＋30）÷（1－1/12 ）＝35÷11/12 ＝38+2/11 （分） 即 1點38+2/11 分。
第三次成一條直線的時刻是：（5×2＋30）÷（1－1/12 ）＝40÷ 11/12＝43+7/11（分） 即 2點43 +7/11分。 如果從12點32 +8/11分開始，到1點38 +2/11分，只敲2下，到2點43 +7/11分，就共敲5下（不合題意） 如果從1點38 +2/11分開始到2點43 +7/11分，共敲3下。
因此，小明應從1點38 +2/11分開始看書，到2點43 +7/11分時結束的。 5、一隻掛鐘，每小時慢5分鐘，標準時間中午12點時，把鍾與標準時間對準。現在是標準時間下午5點30分，問，再經過多長時間，該掛鐘才能走到5點30分？
分析：
- 這鍾每小時慢5分鐘，也就是當標準鍾走60分時，這掛鐘只能走60－5＝55（分），即速度是標準鍾速度的 55/60＝ 11/12 。
- 因每小時慢5分，標準鍾從中午12點走到下午5點30分時，此掛鐘共慢了5×（17 +1/2－12）＝27 +1/2（分），也就是此掛鐘要差27+1/2 分才到5點30分。
- 此掛鐘走到5點30分，按標準時間還要走27+1/2 分，因它的速度是標準時鍾速度的11/12 ，實際走完這27 +1/2分所要時間應是27+1/2 ÷11/12。
解： 5×（17+1/2 －12） ＝27 +11/12（分） (27 +1/2)÷ 11/12＝30（分）答：再經過30分鐘，該掛鐘才能走到5點30分。
追及問題
解題關鍵：追及問題是兩物體速度不同向同一方向運動，兩物體同時運動，一個在前，一個在後，前後相隔的路程若把它叫做“追及的路程”，那麼，在後的追上前一個的時間叫“追及時間”。
關係式是： 追及的路程÷速度差＝追及時間
1、A、B兩地相距28千米，甲乙兩車同時分別從A、B兩地同一方向開出，甲車每小時行32千米，乙車每小時行25千米，乙車在前，甲車在後，幾小時後甲車能追上乙車？
分析：如圖 根據題意可知要追及的路程是28千米，每行1小時，甲車可追上 32－25＝7 千米 即速度差。看28千裏面有幾個7千米，就要幾小時追上。 也就是 ： 追及的路程÷速度差＝追及時間
解： 28÷( 32－25 ) ＝28÷7 ＝4 ( 小時) 答：4小時後甲車能追上乙車。
2、兩輛汽車都從甲地開往乙地，第一輛車以每小時30千米的速度從甲地開出，第二輛車晚開12分鐘，以每小時40千米的速度從甲地開出，結果兩車同時到達乙地。求甲乙兩地的 路程？
分 析： 從題意可知兩車從同一地出發，第二輛車晚開12分鐘，也就是第一輛車出發12分鐘後，第二輛車才出發，那麼，追及的路程是第一輛12分鐘所行的路程，即 30×12/60 ＝6 (千米)。兩車同時到達乙地，也就是第二輛車剛好追上第一輛車，追及的時間就是第二輛車從甲地到乙地行駛的時間。即6÷(40－30)＝0.6(小時)， 已知速度和時間，甲乙兩地的距離可求。
解：30× 12/60＝ 6 (千米 ) 6 ÷( 40 －30 )＝0.6 (小時) 40×0.6＝24 ( 千米) 答：甲乙兩地的路程是24千米。
3、甲乙二人在周長600米的水池邊上玩，兩人從一點出發，同向而行30分鐘後又走到一起，背向而行4分鐘相遇。求兩人每分鐘各行多少米？
分析： 兩 人從一點出發同向而行，速度有快、有慢，形成前後，從出發到再次走到一起，看作追及問題，追及的路程是600米，追及的時間30分鐘，根據“追及的路程 ÷追及的時間＝速度差 ”，可求出速度差是 600÷30＝20 (米)。又背向而行4分鐘相遇，屬相遇問題，相遇的路程是600米，相遇時間是4分分鐘，根據“相遇路程÷相遇時間＝速度和”，可求出速度和是 600÷4＝150 (米)。然後根據“和差問題”(和＋差)÷2＝大數，(和－差)÷2＝小數，可求出兩人的速度。
解： 600÷30＝20 (米) 600÷4＝150 (米) (20＋150)÷2＝85 (米) (150－20)÷2＝65 (米) 答：甲每分鐘行85米，乙每分鐘行65米。
4、甲騎自行車行12分鐘後，乙騎摩托車去追他，在距出發點9千米處追上了甲。乙立即返回出發點拿東西，後又立即返回去追甲，再追上甲時恰好離出發點18千米。求甲、乙的速度？
分析：如圖 從圖中可知，甲行9千米，乙則行了9＋18＝27 (千米)，即 乙的速度是甲的27÷9＝3 (倍) 那麼，從乙出發到第一次追上甲時，乙行9千米，甲應只行9÷3＝3 (千米)，可求出甲先行12分鐘的路程應是 9－3＝6 (千米)，從而可求出甲速度是 6÷12＝0.5 (千米)，由此可求出乙速度。
解： (9＋18)÷9＝3 (倍) 9÷3＝3 (千米) 9－3＝6 (千米) 6÷12＝0.5 (千米) 甲每分鐘行的路程 0.5×3＝1.5 (千米) 乙每分鐘行的路程
答：甲每分鐘行0.5 千米，乙每分鐘行1.5千米。
流水問題
解題關鍵：船速：船在靜水中航行速度； 水速：水流動的速度； 順水速度：順水而下的速度＝船速＋水速； 逆水速度：逆流而上的速度＝船速－水速。 流水問題具有行程問題的一般性質，即 速度、時間、路程。可參照行程問題解法。
1、一隻油輪，逆流而行，每小時行12千米，7小時可以到達乙港。從乙港返航需要6小時，求船在靜水中的速度和水流速度？ 分析： 逆流而行每小時行12千米，7小時時到達乙港，可求出甲乙兩港路程：12×7＝84（千米），返航是順水，要6小時，可求出順水速度是：84÷6＝14 （千米），順速－逆速＝2個水速，可求出水流速度（14－12）÷2＝1（千米），因而可求出船的靜水速度。
解： （12×7÷6－12）÷2 ＝2÷2 ＝1（千米） 12＋1＝13（千米） 答：船在靜水中的速度是每小時13千米，水流速度是每小時1千米。
2、某船在靜水中的速度是每小時15千米，河水流速為每小時5千米。這只船在甲、乙兩港之間往返一次，共用去6小時。求甲、乙兩港之間的航程是多少千米？
分析：
- 1、知道船在靜水中速度和水流速度，可求船逆水速度 15－5＝10（千米），順水速度15＋5＝20（千米）。
- 2、甲、乙兩港路程一定，往返的時間比與速度成反比。即速度比 是 10÷20＝1：2，那麼所用時間比為2：1 。 3、根據往返共用6小時，按比例分配可求往返各用的時間，逆水時間為 6÷（2＋1）×2＝4（小時），再根據速度乘以時間求出路程。
解： （15－5）：（15＋5）＝1：2 6÷（2＋1）×2 ＝6÷3×2 ＝4（小時） （15－5）×4 ＝10×4 ＝40（千米）
答：甲、乙兩港之間的航程是40千米。
3、一隻船從甲地開往乙地，逆水航行，每小時行24千米，到達乙地後，又從乙地返回甲地，比逆水航行提前2. 5小時到達。已知水流速度是每小時3千米，甲、乙兩地間的距離是多少千米？ 分析： 逆水每小時行24千米，水速每小時3千米，那麼順水速度是每小時 24＋3×2＝30（千米），比逆水提前2. 5小時，若行逆水那麼多時間，就可多行 30×2. 5＝75（千米），因每小時多行3×2＝6（千米），幾小時才多行75千米，這就是逆水時間。
解： 24＋3×2＝30（千米） 24×[ 30×2. 5÷（3×2）] ＝24× [ 30×2. 5÷6 ] ＝24×12. 5 ＝300（千米） 答：甲、乙兩地間的距離是300千米。
4、一輪船在甲、乙兩個碼頭之間航行，順水航行要8小時行完全程，逆水航行要10小時行完全程。已知水流速度是每小時3千米，求甲、乙兩碼頭之間的距離？
分析： 順水航行8小時，比逆水航行8小時可多行 6×8＝48（千米），而這48千米正好是逆水（10－8）小時所行的路程，可求出逆水速度 4 8÷2＝24 （千米），進而可求出距離。
解： 3×2×8÷（10－8） ＝3×2×8÷2 ＝24（千米） 24×10＝240（千米）
答：甲、乙兩碼頭之間的距離是240千米。 解法二：設兩碼頭的距離為“1”，順水每小時行 1/8 ，逆水每小時行 1/10，順水比逆水每小時快 1/8－ 1/10，快6千米，對應。 3×2÷（1/8 － 1/10） ＝6÷ (1/40) ＝24 0（千米）
5、某河有相距12 0千米的上下兩個碼頭，每天定時有甲、乙兩艘同樣速度的客船從上、下兩個碼頭同時相對開出。這天，從甲船上落下一個漂浮物，此物順水漂浮而下，5分鐘後，與甲船相距2千米，預計乙船出發幾小時後，可與漂浮物相遇？
分析： 從 甲船落下的漂浮物，順水而下，速度是“水速”，甲順水而下，速度是“船速＋水速”，船每分鐘與物相距：（船速＋水速）－水速＝船速。所以5分鐘相距2千 米是甲的船速5÷60＝ 1/12（小時），2÷ (1/12)＝24（千米）。因為，乙船速與甲船速相等，乙船逆流而行，速度為24－水速，乙船與漂浮物相遇，求相遇時間，是相遇路程120千米，除以它 們的速度和（24－水速）＋水速＝24（千米）。
解： 120÷[ 2÷（5÷60）] ＝120÷24 ＝5（小時） 答：乙船出發5小時後，可與漂浮物相遇。
盈虧問題
解答公式： 兩次分配的結果差÷兩次分配數差＝人數 或，由於參加分配的總人數不變，參加分配的物品總數不變，因此，可根據 第一種分法的人數＝第二種分法的人數 第一種分法物品總數＝第二種分法物品總數，列出方程來解。
1、一批樹苗，如果每人種樹苗8棵，則缺少3棵；如果每人種7棵，則有4棵沒人種。求參加種樹的人數是多少？這批樹苗共有多少棵？
分析： 每人種8棵，則缺少3棵，也就是少3棵。每人種7棵，則有4棵沒人種，也就是多4棵。 那麼兩次分配的結果差是3＋4＝7， 兩次分配的數差是 8－7＝1 種樹人數是：7÷1＝7（人） 樹苗總數是：8×7－3＝53（人）
解法一： （3＋4）÷（8－7） ＝7÷1 ＝7（人） 8×7－3＝53（棵）
答：參加種樹的人數是7人，這批樹苗共有53棵。 解法二：這道題種樹人數不變，樹苗總棵數不變，若設種樹人數為X人，根據第一種分法的樹苗總棵數＝第二種分法的樹苗總棵數，列方程解。
解： 設種樹人數為X人，列方程得 8X－3＝7X＋4 8X－7X＝4＋3 X＝7 8×7－3＝53（棵）
2、幼稚園老師把一堆蘋果分給小朋友，如果每人分6個，則少10個，每人分4個，還少2個。有多少小朋友？有多少個蘋果？ 分析： 兩次分配都不足，則兩次不足數量差就是兩次分配的結果差，結果差÷分配差＝人數
解： （10－2）÷（6－4） ＝8÷2 ＝4（人） 6×4－10＝14（個） 答：有4個小朋友，有14個蘋果。
3、學校安排新生住宿，若每間宿舍住6人，則多出34人；若每間宿舍住7人，則多出4間宿舍，求住宿的學生和宿舍各有多少？ 分析： 每間住6人，多出34人，就是不足34張床位；每間住7人，多出4間宿舍，就是多出7×4＝28張床位。兩次分配的結果差就是（34＋28），結果差÷分配差＝宿舍 解： （34＋28）÷（7－6） ＝62÷1 ＝62（間） 6×62＋34＝406（人）
答：住宿的學生共406人，宿舍有62間。 4、學生分練習本，其中兩個人每人分6本，其餘每人分4本，則多2本；如果有一個學生分8本，其餘每人分6本，則不足18本。學生有多少人？練習本有多少本？
分析：
- 有兩人分6本，其餘每人分4本，餘2本，若將分6本的這兩人也分4本，那麼這兩人又每人餘2本，共餘2×2＋2＝6（本）。
- 一個學生分8本，其餘分6本，不足18本。若將分8本這個學生也同樣分6本，則不足應是18－2＝16（本）。 那麼，兩次分配的結果差是16＋6＝22（本），分配差是6－4＝2（本） 結果差÷分配差＝人數 解： 6－4＝2（本） 2×2＋2＝6（本） 8－6＝2（本） 18－2＝16（本） （16＋6）÷（6－4） ＝22÷2 ＝11（人） 4×11＋6＝50（本）
答：學生有11人，練習本有50本。
5、一工人加工一批機器零件，限期完成，他計畫每小時做10個，還差3個零件完成任務，每小時做11個，恰好限期內完成了任務。他加工的零件是多少個？限幾小時完成？
分析： 每小時做10個，差3個，每小時做11個，恰好完成，那麼，兩次分配的結果差是3個，兩次分配的數差是11－10＝1（個）。根據，結果差÷分配差＝限時數
解： 3÷（11－10） ＝3÷1 ＝3（小時） 10×3＋3＝33（個）
答：他加工的零件是33個，限3小時完成。
解法二：設限X小時完成，根據第一種分法和第二種分法零件個數相等，列方程得 11X＝10X＋3 11X－10X＝3 X＝3 11×3＝33（個）
