天命之謂性

歷經400年，數學家終於證明，巿場小販堆疊水果的方式，是最節省空間的。 撰文／張海潮　台灣大學數學系教授 書名：刻卜勒的猜想 作者：史皮婁 ( George G. Szpiro ) 譯者：葉偉文 出版時間：2005年7月 出版公司：天下文化 史皮婁這本書，前半本是描述自刻卜勒問題提出後，歷來數學家嘗試提出證明的接力過程，後半本則聚焦在介紹黑爾斯（Thomas C. Hales）解決刻卜勒問題的經過。所謂刻卜勒問題，用黑爾斯的話來說，就是有沒有比水果攤堆橘子更省空間的堆法？黑爾斯在《美國數學學會通訊》2000 年4月號上寫了一篇介紹刻卜勒問題的文章，其中引用一位水果商的說法：「我四歲時，我老爹就教我這樣堆橘子。」至於為什麼這是最好的堆法，水果商的回答是：「你就把橘子直接疊在上面。」的確，正如把四個橘子擺在桌上，三個在下，一個在上；疊在上面的第四個剛好塞在下面三個形成的窩窩，看來應該是最省空間的堆法。其實對水果商來說，這樣的堆法應該是取其方便和穩妥。至於是不是最節省空間，未必是水果商想到的問題。 橘子只是比喻，真正的刻卜勒問題堆的是球，怎樣才是最密堆積？要談這個問題，先看個例子：如果有個邊長都是四的小紙箱，要擺進半徑是一的單位球，第一層先塞四個，第二層用相同方法再塞四個，便可塞進八個；但若把第五個塞在四個球形成的窩窩，那糟糕了，第六、七、八個就擺不進去了。怎麼回事？第五個球塞進窩窩，看來是省了一些空間，但它居中一站，卻浪費了更多空間，紙箱變成只能擺進五個球。水果商當然會說，那是因為紙箱剛好是這種尺寸，這和擺在攤子上的情形完全不同。 我們不妨看看如何在平面上擺棋子。如果採取「窩窩法」，把兩個棋子接在一起，第三個密接擺在前兩個的窩窩處，然後用相同辦法擺第四個，看來應該就是最省空間的擺法了。但看看象棋是怎麼擺在盒子裡的？象棋盒是4×4的大小，一層可擺16個棋子；但若堅持用「窩窩法」，就只能擺進14個棋子。因為使用窩窩法，盒內浪費的空間更多。現在我們了解，球堆在空間裡，空間永遠有很多空隙。在沒有邊界限制的情況下，「窩窩法」（也就是所謂的「堆橘子法」）浪費的空間應該是最少；但是就整個空間來論堆球，這議題又太大。我們總不能去問水果商：「如果以整個宇宙為水果攤，你會怎麼堆橘子？」 回到數學。數學處理的問題不外空間（幾何）和數量，在堆球問題中，若不先定出一堆球的密度，可能無法討論哪種堆法比較密集。談密度，總要先有一個範圍，然後看看在範圍內裝得下幾個單位球。（不過就紙箱裝球的經驗來看，不同的紙箱計算的密度會不一樣。）以窩窩法來說，由於堆球的方法很規則，所以可以比較容易定出密度：經過計算，得出近似值是74%（中譯本21、150以及320頁）；換句話說，窩窩法只浪費了26%的空間。 而黑爾斯的工作，就是要證明其他任何一種堆法，浪費的空間至少也是26%；如果剛好浪費了26%，那一定是窩窩法堆球，亦即最密堆積。 黑爾斯在2000年發表的文章裡，介紹自己如何解決刻卜勒問題前，回顧了經過羅傑斯修正後的杜氏分割法。在平面上擺棋子時，最密的擺法相當於在一個正六邊形之中，塞進一個棋子，密度是棋子的面積除以正六邊形的面積，數值接近91%。杜氏想要證明，在（無限）平面上，其他任何一種的棋子分佈方式，密度都不會超過91%。 杜氏想了一個絕佳的處理辦法：針對任何一種在平面上棋子的分佈，設計了一種分割；平面雖然無限延伸，但每個分割都是有限的圖形。杜氏證明，在每個分割中，棋子所佔面積與該分割區域的面積相比，都不超過91%。 杜氏的做法，可以用更淺顯的話來解釋：要了解台灣人口的密度，我們可將台灣做某種區域的重劃；重劃之後，如果每一個區域的人口密度都少於每平方公里600人，那台灣的人口密度就一定少於每平方公里600人。不過重劃時，還是要經過相當的設計；比方說，台北市可能要和相當大的山區劃分成同一塊，才能把人口密度降下來。 杜氏分割不只是成功處理了（無限）平面上，棋子分佈的密度上限，同時也說明了這樣的分割論證，正是數學家做最密堆積證明時，應該要採取的一個程序。黑爾斯因此宣稱，他能像杜氏一樣，針對球在空間的任一種分佈，做出相應分割，然後計算在每一塊分割中，單位球所佔體積的百分比。他說，這樣得出的百分比上限是74%。但由於空間遠比平面複雜，因此黑爾斯的任務相當艱困。 史皮婁顯然支持黑爾斯的證明，雖然至今黑爾斯的證明還沒有完整的驗證，因為他採用了相當程度的電腦運算，可參見摩根（Frank Morgan）發表在《美國數學學會通訊》2005年1月號的文章。照黑爾斯在前述文章中的自白，他需要倚靠電腦來處理5000多種無法手算的情形。這樣的結局多少讓人沮喪，因為在杜氏處理平面的狀況，整個證明清晰簡潔，不超過1000字。黑爾斯所介紹的杜氏分割，並未出現在史皮婁的書中。相較於杜氏分割，史皮婁討論平面的情形稍嫌瑣碎，不容易讀懂（第4章）。 史皮婁這本書還有一個特色，就是介紹了一堆和這個問題有關的學者，洋洋灑灑不下20人。這似乎已變成科普寫作的一種典型：用大量的人物，來包裝原來要討論的主題。作者似乎認為，數學的部份難免枯燥，門道之餘，不如多點熱鬧。正如摩根在他文章中寫下的評論：「出現在這本書中的人物小傳滿有趣味，但是，我必須承認在閱讀書中某些精彩片段的時候，總是擔心又有某位人物的個人小傳出現，打斷了原先正在討論的（數學）議題」。 在史皮婁引入的人物之中，有一位是項武義先生。項武義因為宣稱證明相同問題，而遭到不少數學家質疑，在本書中的角色非常負面。史皮婁引述一些數學家所指陳，在項武義的證明中出現的瑕疵；但其中有一些簡單的錯誤看來不應該是項武義所為，只因有人指陳歷歷，史皮婁便照錄不誤。他在做了一番評論後，寫了一段話：「最後，項武義的證明終於宣告不治，安靜入土。」（209頁）但史皮婁忘了一件最重要的事情，就是黑爾斯提出的證明法，由於極具複雜性，似乎也沒人能真正從學術的角度，為黑爾斯背書；就算有，這個證明事實上也和安靜入土沒有太大差別。因為他把一個問題無法手算的部份，歸結出5000多種情形，寫好程式交給電腦處理。可以這麼說，在交給電腦的同時，已經阻絕了一般數學家對這問題的了解。 最後，我想表達對中譯本的一些看法。大體上，譯文十分流暢，可讀性高，若有晦澀之處，多半也是因為原文難譯。不過，譯文難免有所疏漏，針對我看到的部份，於下一一列出（先指出的頁數為中譯本的頁數）： 79頁，「對換」一般應譯為「置換」或「調換」。 87頁，沒有譯樹的顆數，原文58頁說有500顆。 106頁，多加了「它可不是最緊密的排列」；原文73頁。 161頁，錯譯「希爾伯特的難題中，也有6題有百萬美元的身價」；原文117頁。 177頁，錯譯「在任何單元的裝球問題裡」，應指單位球，即半徑為1的球；原文130頁。 229頁，0.8428應為0.9428；原文171頁。 249頁，「右方」應為「左方」；原文186頁。 252頁，「線性條件」應為「非線性條件」；原文189頁。 288頁，「只有幾個人」應為「只有非常少的人」，原文214頁。 355頁，「內切球」應為「外接球」，原文265頁。